előző oldal vissza a fejezet elejére következő oldal tartalomjegyzék tárgymutató
Előző: Események függetlensége Fejezet elejére: Események függetlensége Következő: Több esemény függetlensége

Két esemény függetlensége

A köznapi életben akkor mondjuk, hogy két jelenség független egymástól, ha egyik sem befolyásol(hat)ja a másikat. Események nyelvén ez azt jelenti, hogy az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja (nem is rontja, nem is javítja) a másik bekövetkezési esélyét. Mivel a $ B$ esemény $ (P(B)>0)$ bekövetkezésekor az $ A$ bekövetkezésének esélyét a $ P(A\vert B)$ feltételes valószínűség jellemzi, így azt mondhatjuk, hogy az $ A$ akkor független $ B$-től, ha

$\displaystyle P(A\vert B)=P(A).$ (4.1)

Ennek a definíciónak az a hátránya, hogy nem szimmetrikus $ A$-ban és $ B$-ben, valamint csak $ P(B)>0$ esetén értelmes. A definíció finomítása előtt azonban tekintsünk példákat.

4.1. Példa.   Jelentse $ A$ azt az eseményt, hogy egy szelvénnyel játszva, ötösünk lesz a lottón. Ekkor $ P(A)=1 / {{90\choose 5}} .$ Ha a lottóhúzást figyeljük, és $ B$ jelenti azt, hogy már négy számunkat kihúzták, és még egy szám húzása van hátra, akkor $ P(A\vert B)=1/86$. Az ötös találat esélye nyilván nem független attól, hogy már legalább négyesünk van. A fenti számok is mutatják, hogy $ B$ bekövetkezte jelentősen ,,megnövelte $ A$ esélyét''.{\valami\char'003}

4.2. Példa.   Két kockát dobunk fel. Jelentse $ B$ azt, hogy az elsőn, $ A$ pedig azt, hogy a másodikon 6-ost dobunk. Ekkor

$\displaystyle P(A\vert B)=\frac {P(AB)}{P(B)} =\frac 1{36} :\frac 16 =\frac 16 =P(A).$

A tapasztalat is azt mutatja, hogy az egyik kockán kijövő szám nem befolyásolja azt, hogy a másikon mi adódik.{\valami\char'003}

A fenti példák azt sugallják, hogy a (4.1) képlet jól ragadja meg a függetlenség szemléletes fogalmát. Szorozzuk most meg (4.1) mindkét oldalát $ P(B)$-vel. Ekkor

$\displaystyle P(AB)=P(A)P(B)$ (4.2)

adódik. Ha $ P(A)\ne 0$, akkor (4.2)-t $ P(A)$-val osztva

$\displaystyle P(B\vert A)=P(B)$ (4.3)

adódik.

Nyilván $ P(B)>0$ esetén (4.2) ekvivalens (4.1)-gyel, $ P(A)>0$ esetén (4.2) ekvivalens (4.3)-mal, míg ha vagy $ P(B)=0$, vagy $ P(A)=0$, akkor (4.2) a $ 0=0$ triviális egyenlőségbe megy át (azaz mindig teljesül, semmilyen plusz feltételt nem jelent $ A$-ra és $ B$-re). Így (4.1), azaz $ A$ független $ B$-től, vagy (4.3), azaz $ B$ független $ A$-tól, definíciók helyett (4.2)-t érdemes elfogadni.

4.3. Definíció.   Azt mondjuk, hogy

$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert} \hline $A$ \'es $B$ {\bf f\uml uggetlen esem\'enyek}, ha $P(AB)=P(A)P(B)$ \hline \end{tabular} .$    

4.4. Feladat.   Bizonyítsuk be, hogy ha $ A$ és $ B$ független, akkor $ \overline A$ és $ B$, $ A$ és $ \overline B$, valamint $ \overline A$ és $ \overline B$ is független eseménypárok!{\valami\char'003}

4.5. Feladat.   Bizonyítsuk be, hogy $ A$ akkor és csak akkor független bármely eseménytől, ha $ P(A)=0$ vagy $ P(A)=1$ !{\valami\char'003}

A függetlenség (4.2) definiáló egyenletéhez a feltételes valószínűség közbeiktatása nélkül, közvetlen heurisztikus úton is eljuthatunk. Legyen pl. $ P(A)=0.3$, $ P(B)=0.6$. $ A$ és $ B$ függetlenségén azt akarjuk érteni, hogy $ B$ bekövetkezése nem befolyásolja $ A$ bekövetkezésének az esélyét. Az $ A$ esemény sok kísérletbol az esetek kb. 30%-ában következik be. Ugyancsak 30%-ban kell tehát akkor is bekövetkeznie $ A$-nak, ha $ B$ bekövetkezik (és persze akkor is, ha $ B$ nem következik be, de ezt már ki sem kell használni). Viszont az összes esetekből $ B$ kb. 60%-ban következik be, és ezen belül kell $ A$ bekövetkezési esélyének 30%-nak lennie. Így $ B$ és $ A$ együttes bekövetkezési esélye $ 0.6\cdot 0.3$ ($ \cdot 100$%). Azaz az alábbi egyenlőségnek kell teljesülnie:

$\displaystyle P(AB)=0.6\cdot 0.3 =P(A)P(B) .$

előző oldal vissza a fejezet elejére következő oldal tartalomjegyzék tárgymutató
Előző: Események függetlensége Fejezet elejére: Események függetlensége Következő: Több esemény függetlensége

Fazekas István: Valószínűségszámítás c. jegyzete alapján a számítógépes változatot készítette: Pere Zsolt.