Beszámoló a Széchenyi Professzori Ösztöndíjjal 1998-2000 években végzett munkáról.

 

I. Oktatási tevékenység

I/1. Oktatott tárgyak: Algoritmuselmélet előadás és gyakorlat 80-120 hallgatónak

Matematikai Logika előadás 120 hallgatónak

Komputer Algebra előadás és gyakorlat 30 hallgatónak

Kriptográfia előadás és gyakorlat 10-40 hallgatónak

Információelmélet előadás 40 hallgatónak

Diplomamunkák vezetése:

Tudományos Diákköri dolgozatok:

 

I/2 Új tanterv, tantárgy, módszer bevezetése, annak eredményessége, összegzése.

A beszámolási időszakban kidolgoztam a KLTE programtervező szakán a Kriptográfia 1, Kriptográfia 2, Adatsűrítés és Egészségügyi Informatika tantárgyak tantervét és mindegyiket oktattam legalább egy féléven keresztül. A PTM- es tanterv korszerűsítése során javaslatomra elfogadta a Matematikai és Informatikai Intézet az új, Digitális Kommunikáció sáv létrehozását és megbízott a kidolgozásával. A sávhoz a Komputer Algebra,Véges Geometriák, Kriptográfia 1, Kriptográfia 2, Kódelmélet, Adatsűrítés tárgyak tartoznak. A Kriptográfia és a Kódelmélet tárgyak különösen kedveltek, 40 - 60 hallgató is felveszi félévenként. Ezekből a témákból három diplomamunka és egy TDK munka készült.

A pályázatomban vállaltam, hogy megvizsgálom egy a PTM szakhoz illeszkedő Egészségügyi Informatikai sáv létrehozásának lehetőségét. Egy ilyen sávot továbbra is fontosnak tartanék létrehozni, de ehhez nem sikerült megfelelő támogatást szereznem a DOTE- tól. A Debreceni Egyetem létrejötte remélhetőleg jobb feltételeket teremt ennek a megvalósítására.

I/3 Tankönyv, jegyzet készítése alkalmazásával kapcsolatos tapasztalatok

Elkészült és a német Vieweg Verlag 1999-ben megjelentette Algebraische Algorithmen című könyvemet. A Komputer Algebra előadásaimhoz alapvetően annak az anyagát használom.

A Kriptográfia előadásaim alapján a hallgatók nem lektorált segédkönyvet készítettek, amelyik a http://www.neumann.math.klte.hu/~pethoe/hallgatoknak.html ULR címen olvasható és letölthető. Azt az előadások és a hallgatói visszajelzések valamint a tárgykör fejlődését követve folyamatosan javítom. Tervezem, hogy az anyagból néhány éven belül használható jegyzetet készítek.

I/4 PhD programok


Témavezetője voltam Fazekas Attilának, aki 1999-ben Vázkijelölő Algoritmusok című értekezésével a KLTE Matematika programjában PhD címet szerzett.

Témavezetője vagyok Ködmön József, Csajbók Zoltán és Takács Péter levelező PhD hallgatóknak.

Bolyán Dezső 2000-ben felvételt nyert a DE Matematika PhD programjára nappali hallgatóként. Én voltam a témavezetője, de 2000 január elsejével felhagyott a tanulmányaival.

Oktatóként folyamatosan részt veszek a Matematika PhD programban. Az Algebrai Számelmélet 2, Diofantikus Approximációk, Kriptográfia, Algoritmuselmélet tárgyak oktatásával.

Szigorlati bizottsági tag voltam Szentesi Péter, DOTE Élettan Program vizsgáztatásában.

Szigorlati bizottsági elnök voltam Bérczes Attila, DE Matematikai Program vizsgáztatásánál.

I/5 Egyéb tevékenység

1999-ig tagja voltam a MAB Villamosmérnöki és Műszaki Informatikai Szakbizottságának.

Szakértőként részt vettem:

 

 

 

 

II Kutatási tevékenység

II/1 Kutatások megvalósult eredményeinek összegzése

A beszámolási időszakban az alábbi területeken végeztem kutatómunkát:

Véleményem szerint a legérdekesebb eredményeket az elsőnek említett témakörben értem el. 1994-ben J. Gebellel és H. G. Zimmerrel elliptikus logaritmusokból képzett lineáris formák approximációs tulajdonságait használva hatékony algoritmust adtunk elliptikus görbékre illeszkedő egész pontok meghatározására. Ezt ugyanabban az időben de tőlünk függetlenül R. Stroeker és N. Tzanakis is kitalálta. N. Smart kiterjesztette a módszert az S-egész pontok meghatározására azzal a szépséghibával, hogy módszere egy hipotetikus korláttól függött.

A [6] dolgozatban sikerült a problémát megoldanunk oly módon, hogy az elliptikus görbékre eredetileg A. Baker által bizonyított effektív korlátokat kombináltuk az elliptikus logaritmusokból képzett lineárformákra vonatkozó hatékony redukciós algoritmussal. Módszerünkben fontos szerepet játszott Hajdu Lajos és Herendi Tamás egy tétele. A [7] [15] és [16] dolgozatokban további példákon szemléltettük a módszer hatékonyságát. Az 1998-as Graz-i számelméleti konferencián meghívott főelőadóként foglaltam össze a témakör eredményeit. Ebből született a [12] cikk.

A parametrikus Thue és egységegyenletek megoldásáról szóló [2], [3] és [8] dolgozatok korábban megkezdett munkák befejezését jelentették. Az ezen a területen végzett 10 éves kutatómunkám megkoronázásának tekintem a [4] cikket. 1968-ban A. Baker és H. Davenport megmutatta, hogy az {1,3,8,120} halmazhoz nem lehet hozzávenni egy ötödik pozitív egész számot úgy, hogy a halmazba tartozó két különböző szám szorzata plusz egy mindig négyzetszámot adjon. Azt könnyű látni, hogy végtelen sok olyan c természetes szám van, amelyekre c + 1 és 3c + 1 is négyzetszám. Ezek egy lineáris rekurzív sorozatot mondjuk ck-t, alkotnak. Azt is könnyű látni, hogy az {1,3,ck,ck+1} olyan halmaz, hogy bármely két különböző elemének szorzata + 1 négyzetszám. [4]-ben Baker és Davenport eredményét általánosítva megmutattuk, hogy az {1,3,ck,ck+1} halmazhoz soha nem vehető hozzá egy ötödik elem úgy, hogy ez a tulajdonság megmaradjon.

Az előzőekből világos, hogy a

Y2=(x + 1) (3x + 1) ( ckx + 1)

elliptikus görbékre mindig illeszkedik legalább hét egész pont. Ezek x koordinátái -1,0,ck-1, ck+1. [14]-ben megmutattuk, hogy ha ck >8, akkor a fenti görbe rangja legalább 2; továbbá, ha a rang 2 vagy k<40, akkor csakis a triviális egész koordinátájú pontok illeszkedhetnek a görbére.

Legyen pn(k) = #{(x1,….xn) Zn : ∑i=1 |x|i =k}. Akkor pn(x) egy n-ed fokú racionális együtthatós polinom. Kirschenhoferrel és Tichyvel [5] közösen megmutattuk, hogy inn!pn(-1/2-ix/2) másodfajú Meixner polinom és így pn(x) minden gyöke a z = -1/2 egyenesre esik. Bebizonyítottuk, hogy a p2(x) = pm(x) egyenletnek bármely m > 3-ra véges sok, effektíven meghatározható x, y egész megoldása van. Hasonlóképpen, ha 2 < n < m és n, m különböző paritásúak, akkor a pn(x) = pm(y) egyenletnek véges sok x, y egész megoldása van.

A [10] dolgozat átmenetet jelent parametrikus diofantikus problémák és a rekurzív sorozatokban előforduló teljes hatványok között. Megmutattuk, hogy az u0=0, u1=1, v0=2, v1=a és un+2=aun+1+un, vn+2=avn+1+vn rekurziókkal definiált sorozatokban sem un sem vn nem lehet □, 2□, 3□ és 6□ alakú, ha n > 12. [1] és [19] egy - a rekurzív sorozatokban előforduló teljes hatványokról szóló - hosszabb, áttekintő előadás két részletének szerkesztett változata. [19]-ben azonban egy érdekes új eredmény is található. Mégpedig az, hogy ha egy harmadrendű lineáris rekurzív sorozat karakterisztikus polinomja irreducibilis és van domináns gyöke, akkor a sorozatban csak véges sok teljes hatvány található. A bizonyításban kombináljuk A. Baker effektív lineáris forma tételét W. M. Schmidt altér tételének egy következményével, így az eredmény nem effektív.

Az utóbbi időben az érdeklődésem egyre inkább a számelmélet kriptográfiai alkalmazásai felé fordult Ha a természetes számok bináris előállításaiban a 0 és 1 számjegyek mellett megengedjük a -1 számjegyet is, akkor minden szám végtelen sokféleképpen állítható elő. [13]-ban Demetrovics Jánossal és Rónyai Lajossal megmutattuk, hogy polinom időben meghatározható az optimális előállítás, amelyre az előállítás hossza és a számjegyek abszolút értékének az összege egyidejűleg minimális.

[17]-ben visszatértem az 1980-a évek közepén Kovács Bélával közösen végzett kutatásaimhoz. Kovács Béla 1982-ben megmutatta, hogy ha egy egy főegyütthatós polinom együtthatói monoton nőnek és a konstans tagja legalább 2, akkor a polinom egy általánosított számrendszer alapjának választható. Akiyamával [17]-ben megmutassuk, hogy ugyanez igaz, ha az tételezzük fel, hogy a konstans tag elég nagy a többi együttható abszolút értékének összegéhez képest.

Legyen K egy n-ed fokú algebrai számtest és S a K értékeléseinek egy véges halmaza, amely tartalmazza az archimédeszi értékeléseket. Jelölje h(α) az α K multiplikatív magasságát. S. Schmidttel közösen [12]-ben megmutatta, hogy K egészei gyűrűjének van olyan ω1,…, ωn egész bázisa, hogy bármely olyan K-beli S egész, amelyre h(α) < T teljesül, felírható

α = (a1ω1 + … +anωn ) / b

alakban, ahol a1,…, an, b racionális egészek, 0 < b < Tn és │ai│< cTnb, i = 1,…,n és c csak a K fokszámától függő konstans.

A vezetésemmel, illetve részvételemmel végrehajtott projektek:

 

II/2 A beszámolási időszakban elkészített tudományos publikációk

  1. A. Pethő, Diophantine properties of linear recurrence sequences I. In: "Applications of Fibonacci Numbers, Volume 7", Ed.: G.E. Bergum, Kluwer Academic Publishers, 1998, pp. 295--309.

  2. A. Pethő and R.F. Tichy, On two parametric families of diophantine problems J. Symbolic Computation, 26 (1998), 151--171.

  3. G. Lettl, A. Pethő and P. Voutier On the arithmetic of simplest sextic fields and related Thue equations, In: "Number Theory", Eds.: K. Győry, A.Pethő and V.T. Sós, Walter de Gruyter GmbH Co., Berlin-New York, 1998, pp. 331--348.

  4. A. Dujella and A. Pethő, Generalization of a theorem of Baker and Davenport, Quart. J. Math. Oxford (2), 49 (1998), 291--306.

  5. P. Kirschenhofer, A. Pethő and R.F. Tichy, On analytical and diophantine properties of a family of counting functions, Acta Sci. Math. 65 (1999), 47--59.

  6. A. Pethő, H.G. Zimmer, J. Gebel and E. Herrmann, Computing all S-integral points on elliptic curves, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 127 (1999), 383--402.

  7. A. Pethő, E. Herrmann and H.G. Zimmer, S-integral points on elliptic curves and Fermat's triple equations, in Algorithmic Number Theory, Ed.: J.P. Buhler, LNCS Vol. 1423, Springer Verlag, 1998, pp 528--540.

  8. C. Heuberger, A. Pethő and R.F. Tichy, Complete solution of parametrized Thue equations, Acta Math. Inf. Univ. Ostraviensis 6 (1998), 93--113

  9. A. Pethő and H.G. Zimmer, On a system of norm equations over cyclic cubic number fields, Publ. Math. Debrecen, 53 (1998), 317--332.

  10. K. Nakamula and A. Pethő, Squares in Binary Recurrence Sequences, In: "Number Theory", Eds.: K. Győry, A.Pethő and V.T. Sós, Walter de Gruyter GmbH, Co., Berlin-New York, 1998, pp. 409--421.

  11. M. Mignotte and A. Pethő, On the diophantine equation xp-x=yq-y, Publicaciones Matematiques, 43 (1999), 207--216.

  12. A. Pethő and H.G. Zimmer, S-integer points on elliptic curves, theory and practice, Proceedings Number Theory Conference in Graz, 1998, to appear.

  13. J. Demetrovics, A. Pethő and L. Rónyai, On pm 1-representations of integers, Acta Cybernetica, 14 (1999), 27--36.

  14. A. Dujella and A. Pethő, A family of elliptic curves, Publ. Math. Debrecen, .{56 (2000), 321 - 325

  15. E. Herrmann, A. Pethő and H.G. Zimmer, On Fermat's quadruple equations, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 69 (1999), 283--291.

  16. A. Pethő and E. Herrmann, S-integer points on elliptic curves, notes to a paper of B.M.M. de Weger, Journal de Théorie Nombres de Bordeaux, to appear.

  17. Sh. Akiyama and A. Pethő, On canonical number systems, Theor. Comp. Sci., to appear.
  18. A. Pethő and S. Schmitt, Elements with bounded height in number fields, Periodica Mathematica Hungarica, to appear.
  19. A. Pethő, Diophantine properties of linear recursive sequences. II., Acta. Math. Acad. Paed. Nyíregyházi, to appear.
  20. A. Pethő, Index form surfaces and construction of elliptic curves over large finite fields, to appear.

A beszámolási időszakban tartott tudományos előadások

1998.06.02. Ostravska Univerzita, The mathematics of Public Key Cryptography

1999.06.16. Université Strasbourgh, On a problem of Diophant on squares

1999.06.17. Université Lyon, On a problem of Diophant on squares

1999.09.07. 14th. Czech and Slovak International Conference on Number Theory, Liptovsky Ján, On Diophantine tuples

2000.04.18. Conference on Real Numbers and Computers, Dagstuhl, On canonical number systems

2000.06.09. Universität Leoben, Indexform Flächen

2000.06.21.Techniche Universität Graz, Über kanonische Zahlsysteme algebraischer Zahlkörper

2000.07.28. Workshop on Conputational Number Theory and Cryptography, Durham, Computational of S-integral point on elliptic curves.

2000.09.14. Conference on Computational Number Theory and Public Key Cryptography, Varsó, Index form surfaces and construction of elliptic curves over large finite fields.

2000.10.21 Workshop of diophantine problems, Tokio, Mijigakuin University on the solution of parametrize families of diophentine equations.

2000.10.26. Analytic Number Theory - Expectations for the 21st Century, Research Institute for Mathematical Science, Kyoto, The first hundred years of algorithmic theory of diophantine equations.

      1. Sangyo University Kyoto, On generalized number systems.

      1. Niigata University, On generalized number systems.

II/3 Tudományszervező tevékenység

 

 

Opponens:

Biráló bizottsági tagság

Külföldi felkérés pályázatok véleményezésére

II/4 Tudományos elismerés az ösztöndíjas időszakban

Az Arany János Közalapítvány Bolyai Farkas Kuratóriumának díja.

 

 

(Dr. Pethő Attila)